Какой язык программирования в matlab. Основные элементы языка программирования Matlab

Имена изменены, все совпадения случайны.

Увертюра

Сразу оговорюсь, MATLAB - отличный инструмент. Отличный инструмент, который мы использовали не по назначению.

Взгляните на нашу компанию. Наша сфера деятельности - разработка ПО для промышленности и много чего еще. В компании работает около 100 человек, а я в этой компании - один из сотрудников, занимающийся разработкой алгоритмов. Есть у нас и Флагманский продукт, приносящий основную прибыль.

Флагманский продукт - бизнес-приложение. В нем много формочек и отчетиков, своя база данных и вычислительное ядро. Вычислительное ядро написано на C# без привлечения нативного кода. Такое решение было принято разработчиками осознанно. Parallel.For был так соблазнителен, а C++ все хотели забыть как страшный сон.

Реальность, как это нередко бывает, не прислушалась к нашим пожеланиям, и скорости C# вскоре стало не хватать. Другая проблема, что, как выяснилось, программисты, какой бы хороший код не писали, в линейной алгебре разбираются слабо.

Тогда наш Главный Алгоритмист предложил идею. Описание этой идеи и того, что из нее вышло и составляет суть данной статьи.

Идея

Идея была проста. Вместо того, чтобы платить зарплату одному умному программисту (который бы умел писать хороший код на C# и разбирался в тонкостях нашего «матана», а такого непросто найти), можно взять двух «полуумных». Первый будет писать прототипы на MATLAB, второй - переносить решение на C#.
MATLAB в таком случае преподносился как инструмент для документирования алгоритма. У такого решения были озвучены следующие преимущества:

• MATLAB - простой язык, который опытный программист может выучить за 1 день
• Все математики пишут на MATLAB

Стоит отметить, что ранее для документирования алгоритма использовался Mathcad, UML-диаграммы и даже просто лист бумаги.

С идеей спорили, ее не принимали. Но в итоге Главный Алгоритмист всех убедил, и была создана команда алгоритмистов, пишущих на матлабе. В эту команду вошел и я. В нашу команду также вошел Один Программист из числа разработчиков, который должен был бы, не думая, переносить наши матлаб-экзерсисы на C#.

Замечу, что кроме предложений отказаться от этой затеи, было и предложение использовать, по крайней мере, python+numpy. Хотя бы той причине, что сколько-нибудь значительного опыта разработки на MATLAB ни у кого не было (я раньше писал на python и R, остальные были математики и инженеры, использующие MATLAB как продвинутый калькулятор). Предложения, как можно понять, отклонили.

Прошел год...

Прошел год и сейчас уже можно подвести некоторые итоги:

• Математики не умеют писать код. А в той лапше, что выходит из-под их пера не могут разобраться и они сами. Нет ни специфических знаний, ни опыта, ни культуры программирования
• Раз уж мы отказались от схем и Mathcad, то появилось желание использовать для наших MATLAB программ реальные источники данных. В итоге мы немало времени занимались дублированием части функционала Флагманского продукта на Матлабе
• Пока мы занимались программированием, времени на работу над собственно алгоритмом оставалось немного
• MATLAB не подходит для разработки больших программ. По крайней мере, не подходит нам. Динамическая нестрогая типизация, медленные циклы, ооочень-медленный ООП (настолько, что пришлось частично отказаться от использования ООП), неполная поддержка разреженных матриц
• Переносить код с MATLAB на C# непросто. Еще сложнее бэкпортировать рефакторинги и оптимизации

В результате мы не можем заранее оценить, сколько времени потребуется на реализацию той или иной фичи. Неделя или может быть месяц?

Вместо заключения

В самом начале статьи я немного слукавил, т.к. история продолжается до сих пор. Мы продолжаем писать на MATLAB, наш код продолжают переносить на C#. Хотя теперь уже все согласны, что у идеи Главного Алгоритмиста есть изъяны. Но менять уже что-либо слишком поздно.

А тем временем начинают поговаривать о дополнительном перекодировании решений с MATLAB уже на С++…

Основные возможности пакета Matlab

Наборы инструментов пакета Matlab

Структура и рабочие окна пакета Matlab

Работа в командном режиме

Основные элементы языка программирования Matlab

1. Основные возможности пакета Matlab

MATLAB (сокращение от англ. «Matrix Laboratory») - пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений и одноименный язык программирования, используемый в этом пакете. MATLAB используют более 1 000 000 инженерных и научных работников, он работает на большинстве современных операционных систем, включая Linux, Mac OS, Solaris (начиная с версии R2010b поддержка Solaris прекращена) и Microsoft Windows.

История. MATLAB как язык программирования был разработан Кливом Моулером (англ. Cleve Moler) в конце 1970-х годов когда он был деканом факультета компьютерных наук в Университете Нью-Мексико. Целью разработки служила задача дать студентам факультета возможность использования программных библиотек Linpack и EISPACK без необходимости изучения Фортрана. Вскоре новый язык распространился среди других университетов и был с большим интересом встречен учеными, работающими в области прикладной математики. До сих пор в Интернете можно найти версию 1982 года, написанную на Фортране, распространяемую с открытым исходным кодом. Инженер Джон Литтл (англ. John N. (Jack) Little) познакомился с этим языком во время визита Клива Моулера в Стэндфордский университет в 1983 году. Поняв, что новый язык обладает большим коммерческим потенциалом, он объединился с Кливом Моулером и Стивом Бангертом (англ. Steve Bangert). Совместными усилиями они переписали MATLAB на C и основали в 1984 компанию The MathWorks для дальнейшего развития. Эти переписанные на С библиотеки долгое время были известны под именем JACKPAC. Первоначально MATLAB предназначался для проектирования систем управления (основная специальность Джона Литтла), но быстро завоевал популярность во многих других научных и инженерных областях. Он также широко использовался и в образовании, в частности, для преподавания линейной алгебры и численных методов.

Описание языка MATLAB. Язык MATLAB является высокоуровневым интерпретируемым языком программирования , включающим основанные на матрицах структуры данных, широкий спектр функций, интегрированную среду разработки, объектно-ориентированные возможности и интерфейсы к программам, написанным на других языках программирования.

Программы, написанные на MATLAB, бывают двух типов - функции и скрипты .

Функции имеют входные и выходные аргументы, а также собственное рабочее пространство для хранения промежуточных результатов вычислений и переменных.

Скрипты же используют общее рабочее пространство. Как скрипты, так и функции не компилируются в машинный код и сохраняются в виде текстовых файлов.

Существует также возможность сохранять так называемые pre-parsed программы - функции и скрипты, обработанные в вид, удобный для машинного исполнения. В общем случае такие программы выполняются быстрее обычных, особенно если функция содержит команды построения графиков.

Основной особенностью языка MATLAB являются его широкие возможности по работе с матрицами, которые создатели языка выразили в лозунге «думай векторно» (англ. Think vectorized ).

Применение MATLAB.

Математика и вычисления. MATLAB предоставляет пользователю большое количество (несколько сотен) функций для анализа данных, покрывающие практически все области математики, в частности:

Матрицы и линейная алгебра - алгебра матриц, линейные уравнения, собственные значения и вектора, сингулярности, факторизация матриц и другие.

Многочлены и интерполяция - корни многочленов, операции над многочленами и их дифференцирование, интерполяция и экстраполяция кривых и другие.

Математическая статистика и анализ данных - статистические функции, статистическая регрессия, цифровая фильтрация, быстрое преобразование Фурье и другие.

Обработка данных - набор специальных функций, включая построение графиков, оптимизацию, поиск нулей, численное интегрирование (в квадратурах) и другие.

Дифференциальные уравнения - решение дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений с запаздыванием, уравнений с ограничениями, уравнений в частных производных и другие.

Разреженные матрицы - специальный класс данных пакета MATLAB, использующийся в специализированных приложениях.

Целочисленная арифметика - выполнение операций целочисленной арифметики в среде MATLAB.

Разработка алгоритмов. MATLAB предоставляет удобные средства для разработки алгоритмов, включая высокоуровневые с использованием концепций объектно-ориентированного программирования. В нем имеются все необходимые средства интегрированной среды разработки, включая отладчик и профайлер. Функции для работы с целыми типами данных облегчают создание алгоритмов для микроконтроллеров и других приложений, где это необходимо.

Визуализация данных. В составе пакета MATLAB имеется большое количество функций для построения графиков, в том числе трехмерных, визуального анализа данных и создания анимированных роликов.

Встроенная среда разработки позволяет создавать графические интерфейсы пользователя с различными элементами управления, такими как кнопки, поля ввода и другими.

Независимые приложения . Программы MATLAB, как консольные, так и с графическим интерфейсом пользователя, могут быть собраны с помощью компоненты MATLAB Compiler в независимые от MATLAB исполняемые приложения или динамические библиотеки, для запуска которых на других компьютерах, однако, требуется установка свободно распространяемой среды MATLAB Compiler Runtime (MCR).

Внешние интерфейсы. Пакет MATLAB включает различные интерфейсы для получения доступа к внешним подпрограммам, написанным на других языках программирования, данным, клиентам и серверам, общающимся через технологии Component Object Model или Dynamic Data Exchange, а также периферийным устройствам, которые взаимодействуют напрямую с MATLAB. Многие из этих возможностей известны под названием MATLAB API.

COM. Пакет MATLAB предоставляет доступ к функциям, позволяющим создавать, манипулировать и удалять COM-объекты (как клиенты, так и серверы). Поддерживается также технология ActiveX. Все COM-объекты принадлежат к специальному COM-классу пакета MATLAB. Все программы, имеющие функции контроллера автоматизации (англ.Automation controller ) могут иметь доступ к MATLAB как к серверу автоматизации (англ.Automation server ).

.NET. Пакет MATLAB в Microsoft Windows предоставляет доступ к программной платформе.NET Framework. Имеется возможность загружать.NET сборки (Assemblies) и работать с объектами.NET классов из среды MATLAB. В версии MATLAB 7.11 (R2010b) поддерживается.NET Framework версий 2.0, 3.0, 3.5 и 4.0.

DDE. Пакет MATLAB содержит функции, которые позволяют ему получать доступ к другим приложениям среды Windows, равно как и этим приложениям получать доступ к данным MATLAB, посредством технологии динамического обмена данными (DDE). Каждое приложение, которое может быть DDE-сервером, имеет свое уникальное идентификационное имя. Для MATLAB это имя -Matlab .

Веб-сервисы. В MATLAB существует возможность вызывать методы веб-сервисов. Специальная функция создает класс, основываясь на методах API веб-сервиса.

MATLAB взаимодействует с клиентом веб-сервиса с помощью принятия от него посылок, их обработки и посылок ответа. Поддерживаются следующие технологии: Simple Object Access Protocol (SOAP) и Web Services Description Language (WSDL).

COM-порт. Интерфейс для последовательного порта пакета MATLAB обеспечивает прямой доступ к периферийным устройствам, таким как модемы, принтеры и научное оборудование, подключающееся к компьютеру через последовательный порт (COM-порт). Интерфейс работает путем создания объекта специального класса для последовательного порта. Имеющиеся методы этого класса позволяют считывать и записывать данные в последовательный порт, использовать события и обработчики событий, а также записывать информацию на диск компьютера в режиме реального времени. Это бывает необходимо при проведении экспериментов, симуляции систем реального времени и для других приложений.

MEX-файлы. Пакет MATLAB включает интерфейс взаимодействия с внешними приложениями, написанными на языках C и Фортран. Осуществляется это взаимодействие через MEX-файлы. Существует возможность вызова подпрограмм, написанных на C или Фортране из MATLAB, как будто это встроенные функции пакета. MEX-файлы представляют собой динамически подключаемые библиотеки, которые могут быть загружены и исполнены интерпретатором, встроенным в MATLAB. MEX-процедуры имеют также возможность вызывать встроенные команды MATLAB.

DLL. Интерфейс MATLAB, относящийся к общим DLL позволяет вызывать функции, находящиеся в обычных динамически подключаемых библиотеках, прямо из MATLAB. Эти функции должны иметь C-интерфейс.

Кроме того, в MATLAB имеется возможность получить доступ к его встроенным функциям через C-интерфейс, что позволяет использовать функции пакета во внешних приложениях, написанных на C. Эта технология в MATLAB называется C Engine .

Альтернативные пакеты. Существует большое количество программных пакетов для решения задач численного анализа. Многие из таких пакетов являются свободным программным обеспечением.

Совместимые с MATLAB на уровне языка программирования :

Близкие по функциональности :

APLи его потомки: напримерJ

Python, при использовании пакета программPython(x,y), а также с такими библиотеками какNumPy,SciPyиmatplotlibреализует сходные возможности.

IDL(англ.Interactive Data Language , интерактивный язык описания данных), когда-то был коммерческим конкурентом MATLAB, сейчас остается серьезным конкурентом во многих прикладных областях, хотя его доля на рынке программных продуктов для численного анализа резко упала.

Fortress, язык программирования, созданный Sun Microsystems, является наследником Фортрана, но с ним не совместим.

При необходимости разработки больших проектов для численного анализа возможно использование языков программирования общего назначения, поддерживающих статическую типизацию и модульную структуру. Примерами могут служить Modula-3,Haskell,Ада,Java. При этом рекомендуется использовать известные в научно-инженерной среде специализированные библиотеки.

2. Наборы инструментов пакета Matlab

В Matlab важная роль отводится специализированным группам программ, называемых toolboxes . Toolboxes - это всесторонняя коллекция функций (m-файлов), написанных на языке MATLAB для решения определенного класса задач. Компания Mathworks поставляет наборы инструментов, которые используются во многих областях, включая следующие:

Цифровая обработка сигналов, изображений и данных : DSP Toolbox , Image Processing Toolbox , Wavelet Toolbox , Communication Toolbox , Filter Design Toolbox - наборы функций, позволяющих решать широкий спектр задач обработки сигналов, изображений, проектирования цифровых фильтров и систем связи.

Системы управления : Control Systems Toolbox , µ-Analysis and Synthesis Toolbox , Robust Control Toolbox , System Identification Toolbox , LMI Control Toolbox , Model Predictive Control Toolbox , Model-Based Calibration Toolbox - наборы функций, облегчающих анализ и синтез динамических систем, проектирование, моделирование и идентификацию систем управления, включая современные алгоритмы управления, такие как робастное управление, H∞-управление, ЛМН-синтез,µ-синтези другие.

Финансовый анализ : GARCH Toolbox , Fixed-Income Toolbox , Financial Time Series Toolbox , Financial Derivatives Toolbox , Financial Toolbox , Datafeed Toolbox - наборы функций, позволяющие быстро и эффективно собирать, обрабатывать и передавать различную финансовую информацию.

Анализ и синтез географических карт, включая трехмерные : Mapping Toolbox .

Сбор и анализ экспериментальных данных : Data Acquisition Toolbox , Image Acquisition Toolbox , Instrument Control Toolbox , Link for Code Composer Studio - наборы функций, позволяющих сохранять и обрабатывать данные, полученные в ходе экспериментов, в том числе в реальном времени. Поддерживается широкий спектр научного и инженерного измерительного оборудования.

Визуализация и представление данных : Virtual Reality Toolbox - позволяет создавать интерактивные миры и визуализировать научную информацию с помощью технологий виртуальной реальности и языка VRML.

Средства разработки : MATLAB Builder for COM , MATLAB Builder for Excel , MATLAB Builder for NET , MATLAB Compiler , Filter Design HDL Coder - наборы функций, позволяющих создавать независимые приложения из среды MATLAB.

Взаимодействие с внешними программными продуктами : MATLAB Report Generator , Excel Link , Database Toolbox , MATLAB Web Server , Link for ModelSim - наборы функций, позволяющие сохранять данные таким образом, чтобы другие программы могли с ними работать.

Базы данных : Database Toolbox - инструменты работы с базами данных.

Научные и математические пакеты : Bioinformatics Toolbox , Curve Fitting Toolbox , Fixed-Point Toolbox , Fuzzy Logic Toolbox , Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox , OPC Toolbox , Optimization Toolbox , Partial Differential Equation Toolbox , Spline Toolbox , Statistic Toolbox , RF Toolbox - наборы специализированных математических функций, позволяющие решать широкий спектр научных и инженерных задач, включая разработку генетических алгоритмов, решения задач в частных производных, целочисленные проблемы, оптимизацию систем и другие.

Нейронные сети : Neural Network Toolbox - инструменты для синтеза и анализа нейронных сетей.

Нечеткая логика : Fuzzy Logic Toolbox - инструменты для построения и анализа нечетких множеств.

Символьные вычисления : Symbolic Math Toolbox - инструменты для символьных вычислений с возможностью взаимодействия с символьным процессором программы Maple.

Помимо вышеперечисленных, существуют тысячи других наборов инструментов для MATLAB, написанных другими компаниями и энтузиастами.

Это окно является основным в MatLAB. В нем появляются символы команд, которые набираются пользователем на экране дисплея, отображаются результаты выполнения этих команд, текст исполняемой программы и информация об ошибках выполнения программы, распознанных системой.

Признаком того, что MatLAB готова к восприятию и выполнению очередной команды, является возникновение в последней строке текстового поля окна знака приглашения " >> ", после которого расположена мигающая вертикальная черта.

В верхней части окна (под заголовком) размещена строка меню, в которой находятся меню File, Edit, View, Windows, Help. Чтобы открыть какое-либо меню, следует установить на нем указатель мыши и нажать ее левую кнопку. Подробнее функции команд меню будут описаны далее, в разделе «Интерфейс MatLab и команды общего назначения. Написание М-книг».

Здесь отметим лишь, что для выхода из среды MatLAB достаточно открыть меню File и выбрать в нем команду Exit MATLAB, или просто закрыть командное окно, нажав левую клавишу мыши, когда курсор мыши установлен на изображении верхней крайней правой кнопки этого окна (с обозначением косого крестика).

1.2. Операции с числами

1.2.1. Ввод действительных чисел

Ввод чисел с клавиатуры осуществляется по общим правилам, принятым для языков программирования высокого уровня:

для отделения дробной части мантиссы числа используется десятичная точка (вместо запятой при обычной записи) ;

десятичный показатель числа записывается в виде целого числа после предшествующей записи символа «е» ;

между записью мантиссы числа и символом «е» (который отделяет мантиссу от показателя ) не должно быть никаких символов , включая и символ пропуска.

Если, например, ввести в командном окне MatLAB строку

то после нажатия клавиши <Еnter> в этом окне появится запись:

Следует отметить, что результат выводится в виде (формате), который определяется предварительно установленным форматом представления чисел. Этот формат может быть установлен с помощью команды Preferences меню File (рис. 1.3). После ее вызова на экране появится одноименное окно (рис. 1.4). Один из участков этого окна имеет название Numeric Format . Он предназначен для установки и изменения формата представления чисел, которые выводятся в командное окно в процессе расчетов. Предусмотрены такие форматы:

Short (default) – краткая запись (применяется по умолчанию);

Long – длинная запись;

Hex – запись в виде шестнадцатиричного числа;

Bank – запись до сотых долей;

Plus – записывается только знак числа;

Short Е – краткая запись в формате с плавающей запятой;

Long Е – длинная запись в формате с плавающей запятой;

Short G – вторая форма краткой записи в формате с плавающей запятой;

Long G – вторая форма длинной записи в формате с плавающей запятой;

Rational – запись в виде рациональной дроби.

Избирая с помощью мыши нужный вид представления чисел, можно обеспечить в дальнейшем выведение чисел в командное окно именно в этой форме.

Как видно из рис. 1.2, число, которое выведено на экран, не совпадает с введенным. Это обусловлено тем, что установленный по умолчанию формат пред­ставления чисел (Short ) не позволяет вывести больше 6 значащих цифр. На самом деле введенное число сохраняется внутри MatLAB со всеми введенными его цифрами. Например, если избрать мышью селекторную кнопку Long Е (т. е. установить указанный формат представления чисел), то, повторяя те же действия, получим:

где уже все цифры отображены верно (рис. 1.5).

Следует помнить:

- введенное число и результаты всех вычислений в системе Ма tLAB сохраняются в памяти ПК с относительной погрешностью около 2.10-16 (т. е. с точными значениями в 15 десятичных разрядах ):

- диапазон представления модуля действительных чисел лежит в диапазоне между 10-308 и 10+308 .

1.2.2. Простейшие арифметические действия

В арифметических выражениях языка МаtLAB используются следующие знаки арифметических операций:

+ – сложение;

– – вычитание;

* – умножение;

/ – деление слева направо;

\ – деление справа налево;

^ – возведение в степень.

Использование MatLAB в режиме калькулятора может происходить путем простой записи в командную строку последовательности арифметических действий с числами, то есть обычного арифметического выражения, например: 4.5^2*7.23 – 3.14*10.4.

Если после ввода с клавиатуры этой последовательности нажать клавишу , в командном окне возникнет результат выполнения в виде, представленном на рис. 1.6, т. е. на экран под именем системной переменной ans выводится результат действия последнего выполненного оператора.

Вообще вывод промежуточной информации в командное окно подчиняется таким правилам:

- если запись оператора не заканчивается символом ";", результат действия этого оператора сразу же выводится в командное окно;

- если оператор заканчивается символом ";", результат его действия не отображается в командном окне ;

- если оператор не содержит знака присваивания (= ), т. е. является просто записью некоторой последовательности действий над числами и переменными , значение результата присваивается специальной системной переменной по имени ans ;

- полученное значение переменной ans можно использовать в следующих операторах вычислений, применяя это имя ans; при этом следует помнить, что значение системной переменной ans изменяется после действия очередного оператора без знака присваивания ;

- в общем случае форма представления результата в командном окне имеет вид :

<Имя переменной> = <результат>.

Пример. Пусть нужно вычислить выражение (25+17)*7. Это можно сделать таким образом. Сначала набираем последовательность 25+17 и нажимаем . Получаем на экране результат в виде ans = 42.Теперь записываем последовательность ans*7 и нажимаем . Получаем ans = 294 (рис. 1.7). Чтобы предотвратить выведение промежуточного результата действия 25+17, достаточно после записи этой последовательности добавить символ ";". Тогда будем иметь результаты в виде, представленном на рис. 1.8.

Применяя MatLAB как калькулятор, можно использовать имена переменных для записи промежуточных результатов в память ПК. Для этого служит операция присваивания, которая вводится знаком равенства "=" в соответствия со схемой: <Имя переменной> = <выражение>[;]

Имя переменной может содержать до 30 символов и должно не совпадать с именами функций, процедур системы и системных переменных. При этом система различает большие и маленькие буквы в переменных. Так, имена "amenu", "Amenu", "aMenu" в MatLAB обозначают разные переменные.

Выражение справа от знака присваивания может быть просто числом, арифметическим выражением, строкой символов (тогда эти символы нужно заключить в апострофы) или символьным выражением. Если выражение не заканчивается символом ";", после нажатия клавиши <Еnter> в командном окне возникнет результат выполнения в виде:

<Имя переменной > = <результат >.

Рис. 1.7. Рис. 1.8.

Например, если ввести в командное окно строку "х = 25 + 17", на экране появится запись (рис. 1.9).

Система MatLAB имеет несколько имен переменных, которые используются самой системой и входят в состав зарезервированных:

i, j – мнимая единица (корень квадратный из –1); pi – число p (сохраняется в виде 3.141592653589793); inf – обозначение машинной бесконечности; Na – обозначение неопределенного результата (например, типа 0/0 или inf/inf); eps – погрешность операций над числами с плавающей запятой; ans – результат последней операции без знака присваивания; realmax и realmin – максимально и минимально возможные величины числа, которое может быть использованы.

Эти переменные можно использовать в математических выражениях.

1.2.3. Ввод комплексных чисел

Язык системы MatLAB, в отличие от многих языков программирования высокого уровня, содержит в себе очень простую в пользовании встроенную арифметику комплексных чисел. Большинство элементарных математических функций допускают в качестве аргументов комплексные числа, а результаты формируются как комплексные числа. Эта особенность языка делает его очень удобным и полезным для инженеров и научных работников.

Для обозначения мнимой единицы в языке МatLAB зарезервированы два имени i и j. Ввод с клавиатуры значения комплексного числа осуществляется путем записи в командное окно строки вида:

<имя комплексной переменной > = <значение ДЧ > + i [j ] * <значение МЧ >,

где ДЧ – действительная часть комплексного числа, МЧ – мнимая часть. Например:

Из приведенного примера видно, в каком виде система выводит комплексные числа на экран (и на печать).

1.2.4. Элементарные математические функции

Общая форма использования функции в MatLAB такова:

<имя результата > = <имя функции >(<перечень аргументов или их значений> ).

В языке MatLAB предусмотрены следующие элементарные арифметические функции.

Тригонометрические и гиперболические функции

sin (z) – синус числа z;

sinh (z) – гиперболический синус;

asin (z) – арксинус (в радианах, в диапазоне от к );

а sinh (z) – обратный гиперболический синус;

со s (z) – косинус;

соsh(z) – гиперболический косинус;

acos (z) – арккосинус (в диапазоне от 0 к p );

асо sh (z) – обратный гиперболический косинус;

tan (z) – тангенс;

tanh (z) – гиперболический тангенс;

atan (z) – арктангенс (в диапазоне от от к );

аtап2 (Х, Y) – четырехквадрантный арктангенс (угол в диапазоне от –p до +p между горизонтальным правым лучом и лучом, который проходит через точку с координатами Х и Y );

atanh (z) – обратный гиперболический тангенс;

sec (z) – секанс;

sech (z) – гиперболический секанс;

asec (z) – арксеканс;

asech (z) – обратный гиперболический секанс;

csc (z) – косеканс;

csch (z) – гиперболический косеканс;

acsc (z) – арккосеканс;

acsch (z) – обратный гиперболический косеканс;

cot (z) – котангенс;

coth (z) – гиперболический котангенс;

acot (z) – арккотангенс;

acoth (z) – обратный гиперболический котангенс

Экспоненциальные функции

exp (z) – экспонента числа z;

log (z) – натуральный логарифм;

log 10 (z) – десятичный логарифм;

sqrt (z) – квадратный корень из числа z;

abs (z) – модуль числа z.

Целочисленные функции

fix (z) – округление к ближайшему целому в сторону нуля;

floor (z) – округление к ближайшему целому в сторону отрицательной бесконечности;

ceil (z) – округление к ближайшему целому в сторону положительной бесконечности;

round (z) – обычное округление числа z к ближайшему целому;

mod (X, Y) – целочисленное деление X на Y;

rem (X, Y) – вычисление остатка от деления X на Y;

sign (z) – вычисление сигнум-функции числа z

(0 при z = 0, –1 при z < 0, 1 при z > 0)

1.2.5. Специальные математические функции

Кроме элементарных в языке MatLAB предусмотрен целый ряд специальных математических функций. Ниже приведен перечень и краткое содержание этих функций. Правила обращения к ним и использования пользователь может отыскать в описаниях этих функций, которые выводятся на экран, если набрать команду help и указать в той же строке имя функции.

Функции преобразования координат

cart 2 sph – преобразование декартовых координат в сферические;

cart 2 pol – преобразование декартовых координат в полярные;

pol 2 cart – преобразование полярных координат в декартовые;

sph 2 cart – преобразование сферических координат в декартовые.

Функции Бесселя

besselj – функция Бесселя первого рода;

bessely – функция Бесселя второго рода;

besseli – модифицированная функция Бесселя первого рода;

besselk – модифицированная функция Бесселя второго рода.

Бета-функции

beta – бета-функция;

betainc – неполная бета-функция;

betaln – логарифм бета-функции.

Гамма-функции

gamma – гамма-функция;

gammainc – неполная гамма-функция;

gammaln – логарифм гамма-функции.

Эллиптические функции и интегралы

ellipj – эллиптические функции Якоби;

ellipke – полный эллиптический интеграл;

expint – функция экспоненциального интеграла.

Функции ошибок

erf – функция ошибок;

erfc – дополнительная функция ошибок;

erfcx – масштабированная дополнительная функция ошибок;

erflnv – обратная функция ошибок.

Другие функции

gcd – наибольший общий делитель;

lern – наименьшее общее кратное;

legendre – обобщенная функция Лежандра;

log2 – логарифм по основанию 2;

pow2 – возведение 2 в указанную степень;

rat – представление числа в виде рациональной дроби;

rats – представление чисел в виде рациональной дроби.

1.2.6. Элементарные действия с комплексными числами

Простейшие действия с комплексными числами – сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень – осуществляются при помощи обычных арифметических знаков +,–,*,/, \ и ^ соответственно.

Примеры использования приведены на рис. 1.11.

Примечание. В приведенном фрагменте использована функция disp (от слова "дисплей"), которая тоже выводит в командное окно результаты вычислений или некоторый текст. При этом численный результат, как видно, выводится уже без указания имени переменной или ans.

1.2.7. Функции комплексного аргумента

Практически все элементарные математические функции , приведенные в п. 1.2.4, вычисляются при комплексных значениях аргумента и получают в результате этого комплексные значения результата.

Благодаря этому, например, функция sqrt вычисляет, в отличие от других языков программирования, квадратный корень из отрицательного аргумента, а функция abs при комплексном значении аргумента вычисляет модуль комплексного числа. Примеры приведены на рис. 1.12.

В МаtLАВ есть несколько дополнительных функций, рассчитанных только на комплексный аргумент:

real (z) – выделяет действительную часть комплексного аргумента z;

і mag (z) – выделяет мнимую часть комплексного аргумента;

angle (z) – вычисляет значение аргумента комплексного числа z (в радианах в диапазоне от –p до +p);

conj (z) – выдает число, комплексно сопряженное относительно z.

Примеры приведены на рис. 1.13.

Рис. 1.12. Рис. 1.3.

Кроме того, в MatLAB есть специальная функция cplxpair (V), которая осуществляет сортировку заданного вектора V с комплексными элементами таким образом, что комплексно-сопряженные пары этих элементов располагаются в векторе-результате в порядке возрастания их действительных частей, при этом элемент с отрицательной мнимой частью всегда располагается первым. Действительные элементы завершают комплексно-сопряженные пары. Например (в дальнейшем в примерах команды, которые набираются с клавиатуры , будут написаны жирным шрифтом , а результат их выполнения – обычным шрифтом ):

>> v = [ -1, -1+2i,-5,4,5i,-1-2i,-5i]

Columns 1 through 4

1.0000 -1.0000 +2.0000i -5.0000 4.0000

Columns 5 through 7

0 + 5.0000i -1.0000-2.0000i 0 - 5.0000i

>> disp(cplxpair(v))

Columns 1 through 4

1.0000 - 2.0000i -1.0000 + 2.0000i 0 - 5.0000i 0 + 5.0000i

Columns 5 through 7

5.0000 -1.0000 4.0000

Приспособленность большинства функций MatLAB к оперированию с ком­плексными числами позволяет значительно проще строить вычисления с действи­тельными числами, результат которых является комплексным, например, находить комплексные корни квадратных уравнений.

1. Гультяев А. К. MatLAB 5.2. Имитационное моделирование в среде Windows: Практическое пособие. - Спб.: КОРОНА принт, 1999. - 288 с.

2. Гультяев А. К. Визуальное моделирование в среде MATLAB: Учебный курс. - Спб.: ПИТЕР, 2000. - 430 с.

3. Дьяконов В. П. Справочник по применению системы PC MatLAB. - M.: Физматлит, 1993. - 113с.

4. Дьяконов В. Simulink 4. Специальный справочник. - Спб: Питер, 2002. – 518 с.

5. Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширения MatLAB. Специальный справочник. - СПб.: Питер, 2001. - 475с.

6. Краснопрошина А. А., Репникова Н. Б., Ильченко А. А. Современный анализ систем управления с применением MATLAB, Simulink, Control System: Учебное пособие. - К.: "Корнійчук", 1999. – 144 с.

7. Лазарев Ю. Ф. Початки програмування в среде MatLAB: Уч. пособие. - К.: "Корнійчук", 1999. - 160с.

8. Лазарев Ю. MatLAB 5.x. – К.: "Ирина" (BHV), 2000. – 384 с.

9. Медведев В. С., Потемкин В. Г. Control System Toolbox. MatLAB 5 для студентов. - Г.: "ДИАЛОГ-МИФИ", 1999. – 287 с.

10. Потемкин В. Г. MatLAB 5 для студентов: Справ. пособие. - M.: "ДИАЛОГ-МИФИ", 1998. - 314 с.

ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА

«Информационные процессы и управление»

Методическая разработка

для проведения лабораторного занятия №1

по дисциплине "Теория принятия решений"

Наименование дисциплины

наименование темы

Тема: Исследование методов одномерной оптимизации

Цель работы:

Изучение методов одномерной оптимизации и способов их алгоритмической реализации в среде многофункциональной интегрированной системы автоматизации математических и научно-технических расчетов MATLAB 7.1;

Сравнительная оценка по объему вычислительных затрат методов: прямого сканирования, дихотомии, «золотого сечения» и метода Фибоначчи.

Литература:

1. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1977. 444 с.

2. Батищев Д.И. Методы оптимального проектирования. М.: «Радио и связь», 1984. 248 с.

3. Бодров В.И., Лазарева Т.Я., Мартемьянов Ю.Ф. Математические методы принятия решений: Учеб. пособие. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. тех. ун-та, 2004. 124 с.

4. Полак Э. Численные методы оптимизации. М.: Мир, 1997. 376 с.

5. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975. 534 с.

6. Юдин Д.Б. Вычислительные методы теории принятия решений. М.: Наука, 1989. 316 с.

7. Кетков Ю. Л., Кетков А. Ю., Шульц М. М. MATLAB 7: программирование, численные методы. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 752 с

По проведению занятия

Лабораторные занятия по дисциплине "Теория принятия решений" проводятся с целью углубления и закрепления теоретических знаний, полученных студентами на различных видах занятий и в процессе самостоятельного изучения учебного материала, приобретения ими навыков практической реализации математических методов принятия решений. По результатам лабораторных занятий студенты должны

Теоретический материал, на основе которого осуществлялось моделирование, а также суть формализованных в программах физических процессов;

Основные методы моделирования соответствующих процессов;

Выполнять выбор и оценку влияния основных параметров на результат моделирования;

Анализировать и обобщать полученные результаты.

Выполнение лабораторной работы включает в себя три этапа: предварительную подготовку к лабораторному занятию, непосредственно занятие, отчетность по лабораторному занятию.

Занятие преследует цель показать связь теоретического материала с практикой и научить студентов применять теорию к решению практических задач.

Лабораторные работы построены таким образом, что они не предполагают знание студентами MATLAB. Каждая лабораторная работа начинается с краткого описания MATLAB, где студенту даются краткие сведения, необходимые для выполнения данной работы.

Подготовка к занятию

Накануне занятия студенты должны:

Ознакомится с руководством по данному лабораторному занятию;

Повторить лекционный материал и изучить предлагаемую литературу по данной теме;

Изучить порядок выполнения работы;

Подготовиться к ответу на контрольные вопросы.

Порядок проведения занятия

В вводной части занятия осуществляется прием учебной группы, дается связь с ранее изученным материалом, объявляются тема, цель, порядок и особенности проведения данного занятия, проверяется подготовленность учебной группы к занятию.

Далее студенты приступают к проведению исследований в соответствии с методикой. По всем неясным вопросам, касающимся лабораторного занятия, студенты должны обращаться к преподавателю, инженерно-техническому составу или инструктору компьютерного класса. Результаты исследований и выводы оформляются в виде отчета по лабораторному занятию. Отчет является рабочим документом студента и представляется ведущему преподавателю во время защиты. Далее производится защита отчетов по лабораторному занятию, а по окончанию - подведение итогов занятия.

Отчетность по занятию

По лабораторному занятию студенты должны получить зачет. Принцип отчетности индивидуальный и может проводиться устно или письменно после выполнения основной части занятия. При выставлении зачетной оценки учитываются: наличие, грамотность и аккуратность оформления бланка-отчета, качество выполнения лабораторной работы, результаты ответов на контрольные вопросы. Студенты, не получившие зачет и отсутствующие на данном лабораторном занятии, отчитываются по нему в личное время.

Краткая характеристика MATLAB

Система MATLAB (Matrix Laboratory) состоит из большого количества специальных программ, позволяющих решать широкий спектр математических и технических задач из разных областей науки. Главный ее элемент – это ядро системы MATLAB. В дополнение к нему система содержит около 80-ти различных комплектов команд (т.н. "Toolboxes"), соответствующие различным разделам математики, математической физики, проектирования, связи, экономики и т.д. В данной работе используются базовые средства программирования MATLAB: М-файлы – функции, встроенные функции, операторы, команды и т.п.

Рис.1. Рабочий стол системы

На рис.1 представлен рабочий стол системы. Строка меню (File, Edit, и т.д.) во многом схожа с аналогичной строкой редактора Microsoft Word. Расположенный ниже ряд иконок также выполняют те же операции, что и в редакторе Word (за исключением 3-х последних). Рабочий стол системы состоит их нескольких окон, состав которых можно менять с помощью команд меню Desktop. На рис.1 в верхнем окне слева приводится содержимое рабочего пространства Workspace , куда помещены описания всех констант и функций, введенных пользователем в процессе работы. В нижнем окне Command History приводится последовательность выполненных команд. Размеры окон регулируются перетаскиванием границы с помощью мыши. Главное окно рабочего стола – Command Window (командное окно). В командном окне после знака ">>" набирается командная строка, которая выполняется после нажатия клавиши "Enter ".

MATLAB позволяет создавать программные файлы, аналогичные другим языкам программирования высокого уровня. Наряду с тем, он обладает свойствами мощного программируемого калькулятора. В данной работе программная реализация алгоритмов поиска осуществляется с помощью M – файлов-функций, а запуск программ и ввод исходных данных может производиться из командного окна.

Формат числа задается меню File (рис.1) в разделе Preferences с помощью функции Numeric Format. Наиболее часто используемыми из 12-ти возможных являются форматы Short и Long – краткая и длинная форматы чисел.

Одними изосновных понятий MATLAB являются переменные и утверждения .

Переменная обозначается одной буквой или набором букв и цифр, начинающимся с буквы. Число букв и цифр в наборе в сумме не должно превышать девятнадцать. Утверждение имеет следующую форму:

>>переменная=выражение

При введении утверждения переменной присваивается выражение, которое стоит за знаком равенства, или, если оно включает какие-либо математические операции, то результат, который получается после выполнения этих операций. Вводить утверждение можно в М-файле или в командном окне программы MATLAB. Знак «>>» является командной подсказкой, появление которой на экране дисплея в командном окне указывает на то, что утверждения можно вводить.

Основные арифметические операторы приведены в табл.1.1. При выполнении вычислений в командном окне после нажатия клавиши "Enter " результат присваивается параметру "ans ", если соответствующему выражению не присвоено имя, или его имени - в противном случае (имена переменных, констант и функций должны начинаться с буквы (буквы латинские), могут содержать цифры и символ подчеркивания). Для блокировки вывода результата вычислений некоторого выражения после него надо установить знак; (точка с запятой).

Таблица 1.1

Пусть, например, требуется вычислить выражение и результат присвоить переменной х . В этом случае утверждение (программа) будет иметь следующий вид (в десятичных дробях целая часть от дробной отделяется точкой):

>> x=log(1+5*((log10(100))^2-0.2*pi)/sqrt(1+2.71828^3))

После введения утверждения, т.е. нажатия клавиши Enter, ниже сразу выдается результат. Если результат нужно заблокировать, т.е. не надо выдавать на экран дисплея, то в конце утверждения нужно поставить знак « ; » (точку с запятой). Предыдущее выражение можно представить и в иной форме:

>> a=(log10(100))^2;

>> b=sqrt(1+2.71828^3);

>> x=log(1+5*(a-0.2*pi)/b)

MATLAB имеет несколько встроенных переменных: pi, eps, inf, i и j. Переменная pi обозначает число , eps =2 -52 =2.2204*10 -16 – погрешность для операций над числами с плавающей точкой, inf - бесконечность (), i и j – мнимую единицу (i = j = ).

Когда аргумент слева не указан, результат выражения присваивается общей переменной ans.

Операторы отношения (табл. 1.2) используются в условных операторах, операторах цикла и т.п. при реализации алгоритмов поиска с использованием М-функций (подпрограммы-функции записываются в файлах с расширением.m).

Таблица 1.2

Итак, программами в системе MATLAB являются М-файлы текстового формата, содержащие запись программ в виде программных кодов.

Входной язык MATLAB насчитывает всего 9 операторов, использующих 14 служебных слов. Соответствующие синтаксические конструкции приведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

№	Формат оператора	Пояснение
	var = expr	Оператор присваивания. Вычисляет значения выражения expr и заносит результаты вычислений в переменную var
	ifусловие_1 операторы_1 end	Условный оператор. Если справедливо условие_1, то выполняется группа операторы_1, если справедливо условие_2, то выполняется группа операторы_2, ... Если все указанные условия оказываются ложными, то выполняются операторы, расположенные между else и end
	switchexpr casevail операторы_1 caseval2 операторы_2 . . . . . . . . . [ othervise операторы] end	Переключатель по значению выражения expr. Если оно совпадает с величиной vail , то выполняется группа операторы_1, если оно совпадает с величиной val2, то выполняется группа операторы_2, ... Если значение expr не совпадает ни с одной из перечисленных величин, то выполняются операторы, расположенные между othervise и end
	forvar=el:e3 операторы end	Цикл типа арифметической прогрессии, в котором переменная var при каждом повторении тела цикла изменяется от начального значения el с шагом е2 до конечного значения еЗ
	whileусловие операторы end	Цикл с предусловием, повторяющийся до тех пор, пока истинно указанное условие
	try операторы_1 catch операторы 2 end	Попытка выполнить группу операторы_1. При условии, что в результате их выполнения возникает исключительная ситуация, управление передается группе операторы_2 (обработка сбойных ситуаций). Если ошибка не возникла, то группа операторы_2 не выполняется
	break	Досрочный выход из управляющих конструкций типа for , while, switch, try - catch
	function f1 function f2 (x1,х2, . . .) function y=f3(xl,x2,...) function =f4(xl,x2,. . .)	Заголовок функции (xl, х2, ... - входные параметры; y, yl, у2, ... -выходные параметры)
	return	Досрочный выход из тела функции

При написании программ-функций требуется, чтобы имя М-файла, в котором запоминается программа, обязательно совпадало с именем функции.

Все переменные, появляющиеся в теле функции, за исключением глобальных переменных (объявленных оператором global), входных и выходных параметров, считаются локальными. Они образуют локальное рабочее пространство и доступны только в теле породившей их функции, и никакие другие функции воспользоваться ими не могут.

Язык MATLAB не содержит оператора goto . В связи с этим в текстах m-файлов отсутствуют метки операторов. Для идентификации строк, в которых возникают аварийные ситуации, используются внутренние номера, присваиваемые системой автоматически.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Название пакета Matlab является сокращением от английского Matrix Laboratory (что означает матричная лаборатория ). Этим же термином (то есть Matlab) называют и язык программирования, используемый для составления программных кодов. Как известно, программный код может компилироваться или интерпретироваться . В первом случае получаем исполнительный (машинный) код, который выполняется центральным процессором. При интерпретации происходит преобразование в промежуточный код, который выполняется непосредственно системой-интерпретатором. Скомпилированный код обычно выполняется быстрее, чем интерпретируемый код. Вместе с тем интерпретируемые языки программирования, как правило, более демократичны в плане синтаксиса. Программный код Matlab интерпретируется. Однако это никак не ставит под сомнение вычислительные возможности Matlab. Основой для реализации разных типов данных в Matlab являются матрицы , что объясняет многие особенности среды (и языка программирования) Matlab. К матрицам мы будем достаточно часто апеллировать по ходу изложения материала книги.

Значительная часть функциональных возможностей приложения Matlab реализована через пакеты инструментов (английский термин toolbox ). Это коллекции функций и других утилит, предназначенных для решения узко специальных задач. Большинство пакетов имеют узкую, специфическую направленность. Приложение Matlab предназначено (в первую очередь) для выполнения числовых расчетов и визуализации получаемых результатов. Пакет содержит огромное число утилит для выполнения самых разных операций и позволяет создавать собственные полнофункциональные программные коды. Вместе с тем в Matlab могут выполняться и символьные расчеты. Этой цели служит встроенная в Matlab среда MuPAD. Таким образом, пользователю Matlab предоставляются широкие возможности не только в области числовых, но и символьных расчетов.

1. Простые вычисления

Под простыми, или пошаговыми, подразумевают вычисления, обычно выполняемые в командном окне приложения Matlab. Соответствующая инструкция или команда вводится в командном окне и затем выполняется. На рисунке 1 показано, как может выглядеть рабочее окно приложения Matlab при запуске. Интерес в данном случае представляет внутреннее окно (обычно в центре рабочего окна приложения) с названием Command Window - командное окно. В этом окне можно заметить индикатор строки ввода (в виде двойной стрелки >> ). Для ввода команды курсор необходимо переместить после индикатора строки ввода и ввести инструкцию для выполнения. Другими словами, в строку ввода командного окна необходимо ввести выражение и, нажав клавишу «Enter», запустить процесс вычисления этого выражения. Результат вычислений отображается внизу, под выполняемой командой. По умолчанию результат заносится в системную переменную «ans».

Рисунок 1

На рисунке 2 приведен пример вычисления нескольких арифметических выражений. В данном случае приведены результаты вычисления выражений 1+2*3 и (5^2-4)/7 соответственно. В первом случае, как и ожидалось, получаем в качестве результата значение 7, во втором - значение 3.

Рисунок 2

В качестве основных арифметических операторов в Matlab используются: оператор «+» для вычисления суммы, оператор «-» для вычисления разности, оператор «*» для вычисления произведения, оператор «/» для вычисления частного и оператор «^» для возведения в степень.

В общем смысле переменная - это область памяти, к которой можно обращаться по имени для получения значения, записанного в этой области, а также его изменения. В строго типизированных языках программирования (таких, как С++, Java или Pascal) для использования переменной необходимо предварительно ее объявить, указав при этом, к какому типу она относится. В Matlab ничего подобного делать не нужно. Переменной сразу можно присваивать значение. В качестве оператора присваивания используется знак равенства «=». Имя переменной, которой присваивается значение, указывается слева от оператора присваивания, а присваиваемое переменной значение справа от оператора присваивания. Значение, присваиваемое переменной, если речь идет о скалярных величинах, может быть числом или выражением, содержащим другие переменные. При этом необходимо, чтобы этим переменным ранее уже было присвоено значение. Пример использования скалярных переменных в пошаговых вычислениях приведен в рабочем документе на рисунке 3.

Рисунок 3

Первой командой x=0.5*sin(0.1) присваивается значение переменной «x». При этом использована встроенная функция Matlab «sin()» для вычисления синуса. Присвоенное в результате этой переменной значение отображается внизу под строкой ввода в формате:

«переменная =

значение»

Аналогично следующей командой y=0.3*cos(0.2) значение присваивается переменной «y». Здесь «cos()» - встроенная функция Matlab для вычисления косинуса. Обращаем также внимание читателя, что в качестве десятичного разделителя при вводе действительных чисел с дробной десятичной частью используется точка.

Наконец, командой z=(x^2+y^2)^(1/3) значение присваивается переменной «z». В выражение, определяющее значение переменной «z», входят переменные «x» и «y». Однако поскольку предварительно этим переменным были присвоены значения, ошибки не возникает и значение переменной «z» присваивается корректно.

Есть две базовые операции, которые достаточно полезны, особенно при большем объеме вычислений. Во-первых, в некоторых случаях нужно узнать, какие переменные рабочего пространства уже используются, и, во-вторых, иногда приходится, образно выражаясь, "удалять переменные с игрового поля" - то есть освобождать память, выделенную под эти переменные. Первая операция выполняется с помощью инструкции «whos». Если ввести в командную строку эту инструкцию и нажать клавишу «Enter», будет выведен список доступных в рабочем пространстве переменных с описанием их некоторых атрибутов.

Рисунок 4

В данном случае список состоит из четырех переменных: трех объявленных переменных пользователя «x», «y» и «z», и системной переменной «ans». Очистка пространства переменных осуществляется с помощью инструкции «clear», после которой, через пробел, указываются имена удаляемых переменных. На рисунке 5 представлен результат выполнения команды «clear x y», после которой выполнена команда «whos» для проверки списка переменных рабочего пространства.

Рисунок 5

Поскольку командой «clear x y» переменные «x» и «y» из рабочего пространства удалены, в списке переменных остались только переменная «z» и системная переменная «ans». Хотя значение переменной «z» присваивается на основе значений переменных «x» и «y», их удаление из рабочего пространства (или изменение их значения) назначение переменной «z» никак не влияет. Для удаления из рабочего пространства всех переменных используют инструкцию «clear» без указания переменных.

В предыдущих примерах использовались скалярные величины. С точки зрения основополагающей идеологии и технической реализации, скаляры в Matlab являются скорее экзотикой, чем обычным явлением. Дело в том, что в Matlab базовым типом данных являются матрицы (или массивы). В этом отношении скаляр "с точки зрения Matlab" (если можно так выразиться) является матрицей размера 1х Как известно, массивы можно индексировать, то есть для доступа к элементу массива указывается имя массива и его индекс (или индексы). Индексы указываются после имени матрицы (массива) в круглых скобках и разделяются запятыми. К скалярной переменной можно обращаться как по имени, так и указав индексы - в данном случае это (1,1). Пример обращения к скалярной величине в обычном режиме и с помощью пары единичных индексов показан на рисунке 6.

Командой «MyVar=10» переменной «MyVar» присваивается значение «10». Обращаться к переменной можно как по имени «MyVar», так и в режиме обращения к элементу матрицы «MyVar(1,1)». В обоих случаях в качестве результата возвращается значение скалярной переменной «MyVar».

Поскольку все переменные в Matlab априори рассматриваются как матрицы, никаких особых инструкций при объявлении матриц выполнять не нужно, за исключением того, что для матрицы необходимо задать значения ее элементов. Делается это достаточно просто. Список элементов матрицы заключается в квадратные скобки, списки значений элементов строки разделяются запятыми или пробелами, а списки значений разных столбцов разделяются точкой с запятой. Например, командой «A=» задается вектор-строка (матрица размеров 1х3) с элементами «1», «2» и «3» соответственно.

Рисунок 6

Командой «B=» задается вектор-столбец (матрица размеров 3х1) с элементами «4», «5» и «6». Наконец, командой «C=» задается матрица размерами 3х2 (3 строки и 2 столбца). Примеры выполнения этих команд приведены в документе на рисунке 7.

Рисунок 7

К элементам матрицы можно обращаться в обычном режиме, указав два индекса (номер строки и номер столбца, на пересечении которых находится элемент). Существует также способ обращения по обобщенному индексу . Обобщенный индекс элемента матрицы определяется как его порядковый номер, если отсчет начинать с верхнего левого элемента сверху вниз и от левого столбика к правому. Так, если матрица «X» имеет размеры «n» на «m», то к элементу с индексами «i» и «j» можно обратиться либо как «X(i,j)», либо как «X(n*(j-1)+i)». Хотя второй способ индексирования элементов может показаться несколько запутанным, он соответствует техническому способу индексации элементов матрицы в памяти, поэтому вычисления в таком случае выполняются быстрее. На рисунке 8 приведен фрагмент документа, в котором в различном режиме выполняется обращение к элементам матрицы «C», определенной ранее. В частности, командой «C(1)» получаем значение элемента «C(1,1)» (значение1). Инструкция «C(5)» является ссылкой на элемент «C(2,2)», значение которого равно «4».

Рисунок 8

2. Арифметические операции

Основные арифметические операторы Matlab позволяют выполнять операции не только со скалярными величинами, но и с матрицами. Более того, можно утверждать, что основная часть операторов ориентирована на выполнение матричных операций. перечислены основные арифметические операторы Matlab с кратким описанием результата их применения к операндам разного типа (если такие допустимы).

Таблица 1 Основные арифметические операторы Matlab.

Оператор	Описание
	Оператор сложения. Оператор бинарный. Операндами могут быть как скалярные величины, так и матричные. Для двух скалярных операторов выполняется сложение. Для двух матричных операндов (матрицы одинаковых размеров) выполняется поэлементное сложение: результатом является матрица той же размерности, что и матрицы-операнды, а ее элементы равны сумме соответствующих элементов складываемых матриц. Если один операнд - скаляр, а другой - матрица, то результатом является матрица, каждый элемент которой равен сумме скаляра и соответствующего элемента матрицы-операнда.
	Оператор вычитания. Бинарный оператор. Операндами могут быт скаляры, матрицы одинаковых размеров или матрица и скаляр. Для скаляров вычисляется разность. Для операндов-матриц вычисляется матрица, элементы которой равны разности соответствующих элементом матриц-операндов. Если один операнд - матрица, а другой - скаляр, то результатом является матрица, элементы которой вычисляются как разность соответствующего элемента матрицы-операнда и скаляра (с учетом порядка операндов). Можно вычитать скаляр из матрицы и матрицу из скаляра.
	Оператор умножения. Бинарный оператор. Если операндами являются скаляры, вычисляется произведение скалярных величин. Для операндов-матриц вычисляется матричное произведение. Если один операнд - матрица, а другой - скаляр, результатом является матрица, элементы которой вычисляются как произведение соответствующего элемента матрицы-операнда и скаляра.
	Оператор деления. Бинарный оператор. Если оба операнда - скаляры, то в качестве результата возвращается частное от деления скаляра на скаляр. Если первый операнд - матрица, а второй - скаляр, в качестве результата возвращается матрица, каждый элемент которой получается поэлементным делением матрицы-операнда на скаляр. В случае если оба операнда - квадратные матрицы одного ранга, в качестве результата возвращается произведение матрицы - первого операнда на матрицу, обратную к матрице - второму операнду.
	Оператор возведения в степень. Бинарный оператор. Первым операндом может быть скаляр или квадратная матрица. Если первый операнд - скаляр, то второй может быть любым действительным скаляром. В качестве результата возвращается первый операнд, возведенный в степень, определяемую вторым операндом. Если первый операнд - квадратная матрица, то второй операнд должен быть целочисленным (может быть отрицательным). Результатом является матрица, вычисляемая возведением матрицы-операнда в целочисленную степень, определяемую вторым операндом.
	Оператор левостороннего деления. Бинарный оператор. Операндами являются квадратные матрицы одного ранга. Результатом является матрица, равная произведению матрицы, обратной к первому операнду-матрице, на второй операнд-матрицу.
	Оператор поэлементного умножения. Бинарный оператор. Операндами являются матрицы одинакового размера. Результатом является матрица, элементы которой равны произведению соответствующих элементов матриц-операндов.
	Оператор поэлементного деления. Бинарный оператор. Операндами являются матрицы одинакового размера. Результатом является матрица, элементы которой вычисляются как частное от деления элементов матрицы - первого аргумента на соответствующие элементы матрицы - второго аргумента.
	Оператор поэлементного левостороннего деления. Бинарный оператор. Операндами являются матрицы одинакового размера. Результатом является матрица того же размера. Выполняется деление элементов матрицы - второго операнда на соответствующие элементы матрицы - первого операнда.
	Оператор вычисления сопряженной матрицы. Унарный оператор. Результатом является матрица, сопряженная к матрице-оператору.
	Оператор транспонирования. Унарный оператор. Результатом является матрица, транспонированная к матрице-операнду.
	Оператор поэлементного возведения в степень. Бинарный оператор. Операндами могут быть скаляры или матрицы (в разной комбинации). Если первый аргумент - матрица, а второй - скаляр или матрица той же размерности, то в качестве результата возвращается матрица, элементы которой получаются возведением элементов первой матрицы в степень, определяемую вторым операндом-скаляром или соответствующими элементами второго операнда-матрицы. Если первый операнд скалярный, а второй является матрицей, то результатом будет матрица того же размера, что матрица-операнд (второй). Элементы матрицы-результата получаются возведением скаляра (первый операнд) в степень, определяемую соответствующим элементом второго (матричного) операнда.

Приведенные операторы практически полностью перекрывают весь спектр возможных операций, которые приходится выполнять с матрицами. Некоторые примеры использования арифметических операторов с матричными операндами приведены в табл. 2. Матрицы «A» и «B» при этом инициализированы в документе следующими командами (жирным шрифтом выделен ввод пользователя):

>> A=

>> B=[-1,1;3,-2]

Таблица 2 Примеры выполнения арифметических операций с матрицами.

	Описание
	Произведение матриц. Вычисляется по правилам вычисления матриц в линейной алгебре.
	Деление матриц. Матрица A умножается на матрицу, обратную к матрице B.
	Левостороннее умножение матриц. Матрица, обратная к матрице A, умножается на матрицу B.
	Поэлементное деление матриц. Элементы матрицы A делятся на соответствующие элементы матрицы B.
	Левостороннее поэлементное деление. Элементы матрицы B делятся на соответствующие элементы матрицы A.
	Поэлементное умножение матриц. Элементы матрицы A умножаются на соответствующие элементы матрицы B.
	Сумма матриц. Вычисляется по правилам вычисления суммы матриц в линейной алгебре (складываются соответствующие элементы матриц A и B).
	Разность матриц. Вычисляется по правилам расчета разности двух матриц (от элементов матрицы A вычитаются соответствующие элементы матрицы B).
	Транспонирование матрицы. Результатом является матрица, транспонированная к матрице A.

Рисунок 9

Рисунок 10

Однако арифметические операторы далеко не единственные операторы, используемые при вычислениях.

3. Логические операторы и операторы сравнения

Важную группу операторов составляют логические операторы и операторы сравнения. Операндами в этом случае могут быть как скаляры, так и матрицы. Прежде, чем приступить к рассмотрению этих операторов, отметим некоторые особенности работы с логическими значениями.

Обычно под логическими значениями подразумевают тип данных, переменные которого могут принимать два значения - истина и ложь («true» и «false» соответственно). В Matlab любое числовое значение, отличное от нуля, интерпретируется как истина (или «true»), а ненулевые значения интерпретируются как ложь (или «false»). Фактически, это есть правило перевода числовых значений в логические значения. Обратное преобразование выполняется по следующему правилу: логическое значение истина (или «true») преобразуется в числовое значение «1», а логическое значение ложь (или «false») преобразуется в числовое значение «0».

Если некоторой переменной присвоить в качестве значения «true» или «false», отображаемым будет соответственно значение «1» или «0».

Операндами для операторов сравнения выступают числовые значения. Это бинарные операторы. Если оба операнда - скаляры, сравнение выполняется по правилам сравнения чисел. При истинном соотношении возвращается значение «1», при ложном - значение «0». Если операндами являются матрицы одинаковых рангов, сравниваются соответствующие элементы матриц (по правилам сравнения числовых значений). Результатом является "логическая матрица": ее элементы равны 1 или 0 в зависимости от результата сравнения соответствующих элементов исходных матриц. Если одним операндом является скаляр, а другим - матрица, то выполняется сравнение каждого элемента матрицы со скаляром. Операторы сравнения перечислены в таблице 3. бинарный программирование компилирование

Таблица 3 Операторы сравнения Matlab.

Оператор	Описание
	Оператор проверки на предмет равенства.
	Оператор проверки значений операндов на предмет неравенства.
	Оператор проверки того, что значение первого операнда больше значения второго операнда.
	Оператор проверки того, что значение первого операнда меньше значения второго операнда.
	Оператор проверки того, что значение первого операнда не меньше значения второго операнда.
	Оператор проверки того, что значение первого операнда не больше значения второго операнда.

Как и в случае операторов сравнения, операндами логических операторов могут выступать как скаляры, так и матрица (одновременно оба или только один). Если операндами являются скаляры, соответствующие логические операции выполняются по описанным выше правилам преобразования числовых и логических значений. Если оба операнда - матрицы одинаковых размеров, логические операции выполняются поэлементно. При условии, что один операнд - матрица, а второй - скаляр, логическая операция выполняется для каждого элемента матрицы и скаляра. Логические операторы Matlab представлены в таблице 4.

Таблица 4 Логические операторы Matlab.

Как в операциях сравнения, так и в логических операциях для элементов матриц или скаляров (в зависимости от типа операндов) возвращаются значения «0» (ложь) и «1» (истина).

4. Комплексные числа

В Matlab можно использовать не только действительные, но и комплексные числа. Ввод комплексных чисел в рабочей области выполняется в соответствии с правилами представления комплексных чисел. В качестве мнимой единицы можно использовать, на выбор, переменные «i» или «j», без какого бы то ни было предварительного объявления. Однако если переменной «i» или «j» присвоить числовое значение, соответствующую переменную в качестве мнимой единицы задействовать не получится.

>> z=1+2i

>> z+j

>> (2-4i)*(1+z)

12.0000 - 4.0000i

>> i * z

При вводе комплексного значения между мнимой частью и мнимой единицей оператор умножения можно не ставить. По умолчанию для отображения мнимой единицы используется символ «i» (хотя может вводиться как «j»). Существует ряд функций, облегчающих работу с комплексными числами. Среди них имеет смысл выделить функции «real()» и «imag()» для вычисления действительной и мнимой частей комплексного числа соответственно, функцию «conj()» для вычисления комплексно сопряженного числа, а также функцию «complex()», принимающую два аргумента (действительная и мнимая части), на основании которых создается комплексное число.

>> complex(3,-2)

3.0000 - 2.0000i

>> conj(ans)

3.0000 + 2.0000i

>> real(ans)

>> imag (2-4 i )

Комплексными могут быть не только скалярные величины, но и матрицы.

Рисунок 11

5. Оператор создания интервала значений

Достаточно популярным и часто используемым в Matlab является оператор "двоеточие", то есть «:». Существует несколько вариантов его использования. Рассмотрим самые общие. Для создания вектора-строки со значениями, равно распределенными в некотором интервале, оператор используют в следующем формате: «нижняя граница диапазона, оператор (то есть «:») и верхняя граница диапазона» - например: «x=a:b». При этом создается вектор-строка (для приведенной команды вектор записывается в переменную «x»). Первый элемент вектора равен нижней границе указанного диапазона (значение «a»). Шаг дискретности изменения значений элементов вектора равен единице. Значение последнего элемента определяется верхней границей указанного диапазона (в данном случае «b»). Так, командой «x=1:10» создается вектор-строка со значениями «1, 2, 3 и т.д. до 10» включительно (жирным шрифтом выделен ввод пользователя):

>> x=1:10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Рисунок 12

Если нужно создать вектор-строку с последовательностью значений и шагом дискретности, отличным от единицы, используют тот же оператор "двоеточие" (то есть «:»), но в несколько ином формате: «указывается нижняя граница диапазона значений, оператор "двоеточие", шаг дискретности, снова оператор "двоеточие", и верхняя граница диапазона» - например: «y=a:m:b». Формируется вектор-строка с первым значением - нижней границей диапазона (для приведенной команды это «a»). Каждый следующий элемент получается прибавлением к предыдущему величины, указанной в качеств шага дискретности (в данном случае «m»). Значения элементов сформированного массива не превышают верхнюю границу диапазона (то есть «b»). Пример такого использования оператора "двоеточие" приведен ниже (отрывок кода из рабочей области, жирным выделен ввод пользователя):

>> y=1:0.7:10

Columns 1 through 8

0000 7000 2.4000 3.1000 3.8000 4.5000 5.2000 5.9000

Columns 9 through 13

6.6000 7.3000 8.0000 8.7000 9.4000

Рисунок 13

В данном случае создается вектор-строка y со значениями от 1 до 10 с шагом дискретности 0.7 - значения 0, 7, 2.4 и т.д. до 9.4 включительно (следующее гипотетическое значение в последовательности 10.1 превышает верхнюю границу диапазона 10, поэтому в формируемый вектор оно не входит). Сообщения «Columns 1 through 8» и «Columns 9 through 13» появляются автоматически как следствие того, что результат выполнения команды «y=1:0.7:10» в одну строку не помещается, поэтому выполняется перенос части вектора-результата в следующую строку. Данные сообщения призваны облегчить процесс индексной идентификации элементов.

Второй способ использования оператора "двоеточие" - при индексировании элементов. Как и в предыдущем случае, существует несколько форматов, или правил, использования оператора "двоеточие" в индексах.

Например, если оператор "двоеточие" используется в формате «A(i:j,k)»,

то в качестве результата возвращается вектор-столбец, который формируется из элементов матрицы «A», находящихся в «k-м» столбце с «i-й» по «j-ю» строку включительно. Ссылка в формате «A(:,k)» возвращает в качестве значения весь «k-й» столбец матрицы «A».

Можно использовать оператор "двоеточие" при указании сразу двух индексов. Например, командой «A(i:j,m:n)» возвращается подматрица, состоящая их строк с «i-й» по «j-ю» и одновременно столбцов с «m-го» по «n-й».

Рассмотрим некоторые примеры использования оператора "двоеточие".

В частности, исходная матрица «A» вводится командой:

A=

В следующих командах оператор "двоеточие" используется для извлечения подматриц из исходной матрицы «A»:

>> A(1:3,2)

>> A(3,2:4)

>> A(3:4,1:2)

Например, командой «A(1:3,2)» возвращается вектор-столбец, составленный из элементов с первой по третью строку во втором столбце матрицы «A». Командой «A(3,2:4)» возвращается вектор-строка, который составлен из элементов третьей строки со второго по четвертый столбец включительно матрицы «A». Наконец, командой «A(3:4,1:2)» возвращается подматрица матрицы «A», верхний левый элемент которой имеет индексы «(3,1)», а правый нижний элемент имеет индексы «(4,2)».

6. Встроенные математические функции

В Matlab по умолчанию доступно достаточно большое количество встроенных функций. Ядро их составляют математические функции, которые на практике используются сравнительно часто. Некоторые из них перечислены в таблице 5.

Таблица 5 Некоторые математические функции Matlab.

	Описание
	Модуль числа (в том числе и комплексного), указанного аргументом функции.
	Арккосинус для числа, указанного аргументом функции.
	Арккосинус аргумента функции. Результат представлен в градусах.
	Арккотангенс числа, указанного аргументом функции.
	Арккотангенс аргумента функции. Результат представлен в градусах.
	Арккосеканс числа, указанного аргументом функции.
	Арккосеканс аргумента функции. Результат представлен в градусах.
	Арксеканс числа, указанного аргументом функции.
	Арксеканс аргумента функции. Результат представлен в градусах.
	Арксеканс гиперболический от числа, указанного аргументом функции.
	Арксинус от числа, указанного аргументом функции.
	Арксинус аргумента функции. Результат представлен в градусах.
	Арксинус гиперболический от числа, указанного аргументом функции.
	Арктангенс от числа, переданного аргументом функции.
	У функции два аргумента (например, atan(y,x)). В качестве результата возвращается направление (угол в диапазоне значений от -р до р) на точку с соответствующими координатами (в данном случае, точка с координатами (y,x)). Если аргументы комплексные, их мнимые части игнорируются.
	Арктангенс аргумента функции. Результат представлен в градусах.
	Арктангенс гиперболический от числа, переданного аргументом функции.
	Функция округления аргумента в направлении плюс бесконечности - округление выполняется до целого значения, которое не меньше, чем аргумент.
	Косинус от числа, переданного аргументом функции.
	Косинус аргумента функции, указанного в градусах.
	Косинус гиперболический от числа, переданного аргументом функции.
	Котангенс от числа, переданного аргументом функции.
	Котангенс аргумента функции, указанного в градусах.
	Котангенс гиперболический от числа, переданного аргументом функции.
	Косеканс от числа, переданного аргументом функции.
	Косеканс аргумента функции, указанного в градусах
	Косеканс гиперболический от числа, переданного аргументом функции.
	Экспонента: показательная функция с основанием-константой Эйлера и показателем степени, определяемым аргументом функции.
	Командой вида expm1(x) с повышенной точностью вычисляется значение exp(x)-
	Функцией возвращается вектор-строка с простыми множителями числа (с учетом их кратности), указанного аргументом функции.
	Функция для вычисления факториала числа, указанного аргументом функции.
	Функция округления в направлении нуля. Результатом является число, получающееся округлением аргумента функции до ближайшего целого значения в направлении нуля.
	Функция округления аргумента до ближайшего целого значения, которое не превышает аргумент, - округление в направлении минус бесконечности.
	Функцией возвращается наибольший общий делитель целых чисел или целочисленных массивов - аргументов функции.
	Корень квадратный из суммы квадратов модулей аргументов, переданных функции.
	У функции два аргумента. Результатом является целая часть отделения первого аргумента на второй. Можно также указать опцию - в одинарных скобках имя функции, с помощью которой выполняется округление.
	Функцией в качестве результата возвращается наименьшее общее кратное для целых чисел или целочисленных массивов - аргументов функции.
	Натуральный логарифм от числа, указанного аргументом функции.
	Логарифм по основанию 10 от числа, указанного аргументом функции.
	Командой вида log1p(x) с повышенной точностью вычисляется значение log(1+x).
	Логарифм по основанию 2 от числа, указанного аргументом функции.
	Функцией возвращается остаток от деления значения первого аргумента функции на значение второго аргумента. Целая часть отделения определяется функцией froor().
	Функцией в качестве значения возвращаются биномиальные коэффициенты. Если функция вызвана в формате nchoosek (n,k), то в качестве результата возвращается значение: ,
	Функцией в качестве значения возвращается ближайшее целое число - степень двойки, которое не меньше модуля аргумента функции.
	Командой nthroot(x,n) в качестве значения возвращается корень порядка n (второй аргумент) из действительного числа или элементов действительного массива x (первый аргумент).
	Функция может вызываться с одним или двумя аргументами. Если у функции один аргумент (массив) и функция вызывается в формате pow2(x), то в качестве результата возвращается массив степеней двойки, показатели степени определяются массивом x. Если функция вызывается с двумя аргументами в формате pow2 (x,y), то результатом является x.*2.^y.
	У функции два аргумента. Если аргументы скалярные, в качестве результата возвращается значение первого аргумента, возведенное в степень, определяемую вторым аргументом. В более общем случае в качестве результата выполнения команды power (A,B) возвращается "A.^B".
	Функцией генерируется список простых чисел. Количество чисел указывается аргументом функции.
	Функцией возвращается остаток от деления значения первого аргумента функции на значение второго аргумента. Целая часть отделения определяется функцией fix().
	Функция округления аргумента до ближайшего целого значения.
	Секанс от числа, указанного аргументом функции.
	Секанс аргумента функции, указанного в градусах.
	Знак числа, указанного аргументом функции (для положительных чисел - единица, для отрицательных чисел - минус единица, для нуля - ноль).
	Синус от числа, указанного аргументом функции.
	Синус аргумента функции, указанного в градусах.
	Корень квадратный из числа, указанного аргументом функции.
	Описание
	Тангенс от числа, указанного аргументом функции.
	Тангенс аргумента функции, указанного в градусах.

Хотя большинство из представленных выше функций с математической точки зрения определены для скалярных величин, обычно они могут применяться и для аргументов-матриц. В этом случае действие функционального оператора применяется к каждому из элементов матрицы. Например, если переменная «A» является матрицей с элементами «A(i,j)», то в результате выполнения команды «exp(A)» получим матрицу того же ранга, а ее элементы вычисляются как «exp(A(i,j))». В некоторых случаях такой подход неприемлем. Существуют так называемые матричные функции, аргументами которых по определению являются матрицы (в основном квадратные). Результат этих функций вычисляется по алгоритмам, разработанным специально для матриц. Так, в Matlab есть встроенные матричные функции для экспоненты, логарифма и квадратного корня. Это соответственно функции «expm()», «logm()» и «sqrtm()». Например, если «A» - квадратная матрица, то функцией «expm(A)» вычисляется матричная экспонента. По определению это ряд:

Результатом является матрица, которая вычисляется, как правило, на основе собственных чисел и собственных векторов матрицы «A». Матричный логарифм для аргумента-матрицы «A», вычисляемый инструкцией «logm(A)», представляет собой матрицу такую, что матричная экспонента от нее равна матрице «A». Другими словами, по определению если «B=logm(A)», то «expm(B)=A», и функция «logm()» является обратной к функции «expm()». Аналогично, в результате извлечения квадратного корня из матрицы «A» с помощью функции «sqrtm()» получаем матрицу, которая, будучи возведенной в квадрат, дает матрицу «A». Например, если «B=sqrtm(A)», то «B*B=A».

В Matlab также широко представлены специальные функции, некоторые их них приведены в таблице 6.

Таблица 6. Некоторые специальные математические функции Matlab.

	Описание
	Функция Эйри.
	Функция Бесселя третьего рода (функция Ханкеля).
	Командой besseli(n,x) возвращается модифицированная функция Бесселя первого рода (индекса n).
	Командой besselj(n,x) возвращается функция Бесселя первого рода (индекса n), которая является одним из решений уравнения Бесселя.
	Командой besselk(n,x) возвращается модифицированная функция Бесселя второго рода (индекса n), которая является одним из решений модифицированного уравнения Бесселя. Для целых индексов соответствующее выражение рассчитывается как лимит.
	Командой besselj(n,x) возвращается функция Бесселя второго рода (индекса n), которая является одним из решений уравнения Бесселя. Для целых индексов соответствующее выражение рассчитывается как лимит.
	Бета-функция Эйлера.
	Неполная бета-функция Эйлера.
	Логарифм натуральный от бета-функции Эйлера. Аргументами передаются аргументы бета-функции.
	Эллиптическая функция Якоби. Если функция вызывается с двумя аргументами в формате ellipj(u,m), в качестве результата возвращаются значения (вектор) для функций sn (u ) , cn (u ) и dn (u ).
	Функция для вычисления полного эллиптического интеграла первого и второго рода (вектор значений).
	Функция ошибок.
	Функция ошибок (остаточная).
	Функция ошибок (остаточная нормированная).
	Обратная функция к функции ошибок erf().
	Обратная функция к функции ошибок erfc().
	Интегральная экспонента.
	Гамма-функция Эйлера.
	Неполная гамма-функция.
	Логарифм натуральный от гамма-функции Эйлера. Аргументом функции передается аргумент гамма-функции.
	Функция для вычисления присоединенных полиномов Лежандра. В результате вызова функции в формате legendre(n,x) возвращается вектор-столбец значений присоединенных полиномов Лежандра m () Pn x для m = 0,1,2,...,n
	Пси-полигамная функция.

Как и в случае с базовыми математическими функциями, для большинства специальных функций аргументами могут указываться матрицы. В этом случае функция вычисляется для каждого из элементов матрицы.

7. Формат вывода числовых данных

В некоторых случаях приходится изменять способ, которым данные с результатом выполнения команд пользователя выводятся на экран. В первую очередь отметим, что можно вообще не отображать результат выполнения команды в командном окне. Для этого достаточно соответствующую команду закончить точкой с запятой (то есть «;»). В этом случае после нажатия клавиши «Enter» команда выполняется, но результат ее выполнения в командном окне не отображается. Такой режим особенно удобен в тех случаях, когда нужно выполнять громоздкие промежуточные расчеты, которые, с одной стороны, необходимы для получения конечного результата, а с другой - загромождают рабочее пространство. Поэтому разумный выход из такой ситуации - скрыть результат выполнения команды. Числовой формат вывода в явном виде задается с помощью инструкции «format». В команде определения формата вывода после ключевого слова «format» указывается применяемый формат. Допустимые форматы, с кратким их описанием, перечислены в таблице 7.

Таблица 7 Числовые форматы.

	Описание
	Формат отображения числовых данных, при котором после десятичной точки отображается четыре цифры (формат данных с фиксированной точкой). Формат используется по умолчанию.
	Числовой формат, при котором после десятичной точки отображается 7, 14 и 15 цифр в зависимости от типа числовых данных (формат данных с фиксированной точкой).
	Формат отображения числовых данных с мантиссой и показателем степени (формат данных с плавающей точкой), при котором после десятичной точки отображается четыре цифры.
	Числовой формат отображения с мантиссой и показателем степени (формат данных с плавающей точкой), при котором после десятичной точки отображается 7, 14 и 15 цифр в зависимости от типа числовых данных.
	В зависимости от значения, для отображения применяется либо формат с плавающей точкой, либо с фиксированной точкой. После десятичной запятой отображается четыре цифры.
	В зависимости от значения, для отображения применяется либо формат с плавающей точкой, либо с фиксированной точкой. После десятичной запятой отображается 7, 14 или 15 цифр.
	Инженерный формат с четырьмя отображаемыми цифрами после десятичной точки и показателем степени, кратным трем.
	Инженерный формат с 7, 14 или 15 отображаемыми цифрами после десятичной точки и показателем степени, кратным трем.
	Формат, при котором для положительных чисел отображается знак +, для отрицательных отображается знак -, а для нуля отображается пробел.
	Финансовый формат, при котором после десятичной точки отображается две цифры.
	Отображение чисел в шестнадцатеричной системе счисления.
	Отображение чисел в виде рациональной дроби.
	Режим отображения результатов вычислений в компактной форме, с уменьшенными интервалами между строками.
	Режим отображения результатов вычислений с увеличенными интервалами между строками. Используется по умолчанию.

Ниже приведен пример отображения числа р в разных форматах (в командах использована встроенная константа «Matlab pi»):

>> pi

>> format long

>> pi

3.141592653589793

>> format long e

>> pi

3.141592653589793e+000

>> format long eng

>> pi

3.14159265358979e+000

>> format bank

>> pi

>> format rat

>> pi

>> format +

>> pi

Рисунок 14

Настройки формата вывода влияют только на способ отображения числовых значений, но никак не точность их представления. Поэтому главным критерием при выборе способа вывода данных может быть вопрос удобства. Есть одна функция, которая хотя напрямую и не относится к определению формата вывода числовых данных, ее использование значительно облегчает процесс взаимодействия пользователя с системой. Это функция «clc», которая позволяет очистить рабочее пространство от команд ввода и результатов их выполнения.

Практическая часть

1. Создать вектор-строку: начальный элемент равен - р, конечный р, шаг равен 0. Транспонировать строку в столбец.

2. Создать три вектор-строки из 5 элементов fi = , где n = 5 для х = 2, 3, 4. Объединить эти строки в матрицу А (3 Ч 5).

3.Создать три вектор-столбца из 5 элементов арифметической прогрессии. Элемент арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:

где «аn-1» - предыдущий элемент; «аn» - последующий.

Пять элементов вектора формируются, начиная с задания первого элемента «а» и c использованием шага арифметической прогрессии «d» для задания последующих элементов:

Для первого вектор-столбца: a = 2; d = 1:

Для второго вектор-столбца: a = 7; d = 2:

Для третьего вектор-столбца: a = 10; d =-2:

4. Объединить эти вектор-столбцы в матрицу В (5 Ч 3).

5. Транспонировать матрицу В и объединить с матрицей А в матрицу М(6 Ч 5).

6. Из матрицы A убрать вторую строку.

7. У матрицы В обнулить третью строку и убрать две последние строки.

8. Создать матрицу Н(2 Ч 2) путем выделения первых двух строк и столбцов матрицы М.

9. Создать с помощью функции repmat матрицу, состоящую из 2 Ч 3 матриц Н.

10. Создать матрицы размерностью 3 Ч 3:

C - единиц:

F - равномерно распределенных случайных чисел:

E - нормально-распределенных случайных чисел:

11. Найти минимальный элемент в матрице равномерно-распределенных чисел размерностью 3 Ч 5, используя функцию «reshape».

1. Построить на отрезке [-1,-0.3]с шагом 0.005 графики огибающих функций.

Первый график вывеси красной сплошной линией, а второй - зеленой штрих-пунктирной линией с маркерными точками х. Затем на полученные графики наложить графики дискретных отсчетов этих же функций без затирания предыдущего результата.

2. Построить графики суточных температур; значения векторов времени и температуры за два дня приведены ниже.

Время - 0 4 7 9 10 11 12 13 13.5 14 14.5 15 16 17 18 20 22.

Температура 10 мая - 14 15 14 16 18 17 20 22 24 28 25 20 16 13 13 14 13. Температура 11 мая - 12 13 13 14 16 18 20 20 25 25 25 20 16 12 12 11 10.

Оформить графики заголовком "All temperature", по оси «Х» подписать "Time"; по оси «У» `Temperature"; в легенде - "10 may", "11 may" и разместить ее в нижнем левом углу.

3.Построить 3-хмерные графики функции:

z (x ,y ) = 4 sin(2рx ) cos(5рy )(1 - x 2 )y (1 ?y )

на прямоугольной области «x [?1], y » с шагом 0.05 всеми способами, рассмотренными в лабораторной работе, размещая их в отдельных областях на одном окне. Названия функций, применяемых для построения графиков, включить в заголовки этих графиков.

Размещено на Allbest.ru

...